Halbleiter

Definition Halbleiter

Halbleiter sind von Leitern und Nichtleitern (auch: Isolatoren) zu unterscheiden. Das Unterscheidungskriterium ist der spezifische Widerstand ρ.

Der spezifische Widerstand ρ

Strom ist der gerichtete Transport elektrischer Ladung durch bewegliche Ladungsträger in einem Medium. Das Medium setzt dem Stromtransport einen Widerstand entgegen, abhängig von der Art des Mediums. Dieser wird ausgedrückt im spezifischen Widerstand ρ. Die Formel lautet ρ in Ω ⋅ mm²/m.

Einordnung

Der spezifische Widerstand ρ von Halbleitern liegt zwischen dem von Nichtleitern und Leitern. Alle Materialen mit einem höheren spezifischen Widerstand sind Nichtleiter wie bspw. Porzellan, alle mit geringerem Widerstand sind Leiter wie bspw. Eisen.

Beispielwerte

Wertebereich des spezifischen Widerstandes von Medien:
SpezifischerWiderstand
Zum Vergleich einzelner Werte wird von einer Materialprobe von 1 m Länge und 1 mm Durchmesser ausgegangen:

Kupfer (Cu) ist ein metallischer Leiter und hat in diesem Beispiel den Widerstand 17,5 ⋅ 10-3 Ω (17,5 mΩ).

Silizium (Si-i) ist ein Halbleiter und hat in diesem Fall bei einer Temperatur von 20 °C den Widerstand 2,1 ⋅ 109 Ω (2,1 GΩ).

PVC ist ein Isoliermaterial, also ein Nichtleiter. PVC hat einen Widerstand von 1020 Ω (1011 GΩ).

Aufbau von Leitern und Halbleitern

Aufbau der Atome

Der Aufbau der Atome wird gezeigt anhand der Elementarteilchen, dem Bohrschen Atommodell und dem Kristallaufbau.

Elementarteilchen

Atome bestehen aus Elektronen, Protonen und Neutronen, den Elementarteilchen.

Alle Elemente außer Wasserstoff enthalten neben Elektronen und Protonen auch Neutronen. Diese sind elektrisch neutral (keine Ladung).

Elektronen und Protonen tragen eine elektrische Ladung, die Elementarladung:

Elektron: e- = -1,6 ⋅ 10−19 As (negative Ladung)

Proton: e+ = 1,6 ⋅ 10−19 As (positive Ladung)

Die Anzahl der Protonen entscheidet über die Art des Elements und entspricht immer der Anzahl der Elektronen.

Für alle Atome gilt, dass die positiven und negativen Ladungen sich in ihren Auswirkungen kompensieren und das Atom elektrisch neutral ist.

Bohrsches Atommodell

Eines der bekanntesten Modelle zur Beschreibung des Aufbaus von Atomen ist das Bohrsche Atommodell. Es wird davon ausgegangen, dass im Atomkern Protonen und Neutronen konzentriert sind und dieser Atomkern von den Elektronen auf den Elektronenbahnen umkreist wird. Der Durchmesser der Elektronenbahnen wird durch die Energie der Elektronen bestimmt. Die Anzahl der Bahnradien ist begrenzt, da Elektronen nach den Gesetzen der Quantenmeschanik nur bestimmte Energien annehmen können.

Elektronen und Elektronenschalen

Das Bohrsche Atommodell geht daher von diskreten Elektronenschalen mit unterschiedlichen Durchmessern aus. Diese werden mit den Buchstaben von K bis Q bezeichnet. Pro Elektronenschale berechnet sich die maximale Anzahl von Elektronen aus Nmax = 2 ⋅ n, wobei n der Nummer der Elektronenschale von innen aus gezählt entspricht. Auf der äußersten Schale ist bei acht Elektronen die Edelgaskonfiguration und damit maximale Elektronenzahl erreicht.
Siliziumatommodell
Die Energie der Elektronen ist in kernnahen Schalen niedriger und in kernfernen Schalen höher. Atome nehmen immer einen möglichst energiearmen Zustand ein, also ordnen sich die Elektronen von innen nach außen auf den Atomschalen an. Je schwerer ein Element ist, desto mehr Schalen hat es.

Die Elektronen auf der äußeren Elektronenschale bezeichnet man als Valenzelektronen. Die Zahl der Valenzelektronen von Metallen ist gering, nämlich von einem bis zu drei. Für die Herstellung von Halbleitern werden vorzugsweise 4-wertige Elemente verwendet. Darüber hinaus gibt es Verbindungshalbleiter beispielsweise aus 3- und 5-wertigen Elementen (GaAs, GaP usw.).

Beispielwerte und -Tabellen

Aufbau der Elektronenschalen ausgewählter Elemente
ElektronenzahlaufElektronenschalen
Anmerkungen

(1) Elektronenzahlen von über 50 auf einer Schale kommen in der Realität nicht vor.

(2) 8 Elektronen auf der äußeren Schale (2 bei K-Schale) kennzeichnen ein Edelgas, das keine chemischen Verbindungen eingeht.

Belegung der Elektronenschalen bei verschiedenen Elementen
Elektronenschalenbelegung

Kristallaufbau

Der Kristallaufbau in Festkörpern ist weiter zu unterteilen in metallische und nicht-metallische Atombindungen.

Metalle

Metalle binden ihre Atome im Kristallgitter ohne Beteiligung der Valenzelektronen. Einzelne Valenzelektronen lösen sich daher leicht von den Gitteratomen und sind zwischen den Atomen frei beweglich. In Festkörpern beträgt die Atomdichte ≈ 5 ⋅ 1022 Atome/cm3. Bei etwa einem freien (beweglichen) Elektron pro 1 bis 10 Gitteratomen beträgt die Konzentration beweglicher Elektronen in Metallen somit nn > 5 ⋅ 1021 cm-3. Metalle sind daher, im Gegensatz zu nicht-metallischen Materialien, sehr gute Leiter.

Elektronenpaarbindung

Handelt es sich nicht um ein Edelgas, hat ein Atom also weniger als 8 Valenzelektronen, besteht die Neigung zur Reaktion mit anderen Atomen. Die Elektronenpaarbindung (kovalente Bindung) ist eine der wichtigsten Bindungsarten.

Eine Elektronenpaarbindung kann man sich modellhaft folgendermaßen vorstellen: Zwei Atome (desselben oder verschiedener Elemente) ordnen sich so an, dass je ein Elektron beider Atome zusammen ein Elektronenpaar bildet, welches umeinander kreist. Die zwei Atome „teilen“ sich das Elektronenpaar und haben so scheinbar je ein Elektron mehr.

Die Neigung zur Reaktion bleibt solang bestehen, bis die Edelgaskonfiguration auf der Valenzschale durch eine geeignete Anzahl von Elektronenpaarbindungen erreicht wird. Elektronen lassen sich schwer aus ihren Elektronenpaarbindungen lösen, diese wiederum binden die Atome stark aneinander.

Bildung eines Wassermoleküls aus einem Sauerstoffatom und zwei Wasserstoffatomen durch zwei Elektronenpaarbindungen.

Wassermolekuel
Die Bindungen im Wassermolekül sind so stabil, dass reines Wasser nicht elektrisch leitend ist.

Halbleiter

Die Atome der Elemente Silizium und Germanium besitzen jeweils 4 Valenzelektronen, wie in der folgenden, vereinfachten Darstellung eines Halbleiteratoms für die Darstellung des Kristallgitters.
Halbleiteratom

Anmerkung

Nur die Elektronen der äußersten Schale werden dargestellt; die inneren Schalen mit dem Kern zum Atomrumpf zusammengefasst

Die Edelgaskonfiguration der Valenzschale kann ein Halbleiteratom durch 4 Elektronenpaarbindungen mit 4 Nachbaratomen erreichen.
ElektronenpaarbindungenHalbleiteratom
Die äußeren Atome streben ebenfalls nach weiteren Elektronenpaarbindungen, um ebenfalls die Edelgaskonfiguration der Valenzschale zu erreichen. Dieser Wachstumsprozess lässt eine Kristallstruktur entstehen.
AtomeimHalbleiterkristall

Leitungsmechanismen in Halbleitern

Es gibt im Halbleiter zwei grundsätzlich unterschiedliche Leitungsmechanismen, die Eigenleitung und die Störstellenleitung.

Eigenleitung

Die Eigenleitung beschreibt die Leitungsmechanismen im reinen Halbleiter.

T = 0 K
Alle Valenzelektronen im Halbleiterkristall sind bei 0 K in Elektronenpaarbindungen fixiert. Es gibt daher keine beweglichen Ladungsträger und keine elektrische Leitfähigkeit. Also ist der Halbleiter ein Isolator.

Paarbildung (Generation)

T > 0 K
Temperaturerhöhung bedeutet Energiezufuhr sowohl zu den Atomen als auch zu den Elektronen (statistische Verteilung der Energie).

Die energiereichsten Elektronen sind in der Lage, aus den Elektronenpaarbindungen auszubrechen, sie verlassen ihren Platz im Kristallgitter und werden frei beweglich (erforderliche Energie: 0,7 eV bei Ge; 1,1 eV bei Si).

Jedes aus einer Elektronenpaarbindung frei gewordene Elektron hinterlässt an seinem Ursprungsort eine Lücke („Fehlelektron“, „Defektelektron“ oder „Loch“). An der Stelle des Lochs verbleibt eine positive Überschussladung des Atomkerns, das Loch trägt also eine positive Ladung.
Paarbildung

Löcherwanderung

Ein Elektron aus einer benachbarten Elektronenpaarbindung kann an die Postion des Loches wechseln, dieses verschwindet und ein neues Loch entsteht an der ehemaligen Position des Elektrons. Dieser Vorgang wiederholt sich und das Loch wandert, das bedeutet, dass das Loch einem beweglichen positiven Ladungsträger entspricht.

Ladungsträgerkonzentration

Bei der Ladungsträger-Generation entsteht immer ein Ladungsträgerpaar aus einem bewegliches Elektron und einem Loch. Dieser Vorgang heißt Paarbildung. Die Konzentration positiver und negativer Ladungsträger (= Anzahl der Ladungsträger pro Volumeneinheit) ist bei Eigenleitung gleich.

n = p
n0 = Konzentration der negativen Ladungsträger
p0 = Konzentration der positiven Ladungsträger

Rekombination

Als Rekombination bezeichnet man den Vorgang, bei dem ein freies Elektron und ein Loch aufeinandertreffen. Das Elektron wird eingefangen, das Loch verschwindet Das Elektron ergänzt jetzt die defekte Elektronenpaarbindung und ist nicht mehr beweglich. Das Ladungsträgerpaar ist verschwunden.

Gleichgewicht zwischen Paarbildung und Rekombination (Intrinsic-Dichte)

Die Anzahl der Ladungsträgerpaare, die durch Paarbildung pro Zeiteinheit entstehen, entspricht immer der Anzahl, die durch Rekombination verschwinden.

Zwischen Paarbildung und Rekombination kommt es zu einem temperaturabhängigen Gleichgewicht, genannt die Eigenleitungsdichte.

Die Gleichgewichtskonzentration, also die Ladungsträgerdichte ni steigt annähernd exponentiell mit der Temperatur.

n0 = p0 = ni = f(T)
(ni = Intrinsic-Zahl / Intrinsic-Dichte)
Temperaturabhängigkeit der Eigenleitungsdichte bei Silizium und Germanium
Eigenleitungsdichte
Im Vergleich zu den Metallen (n ≥ 2 ⋅ 1022 cm-3) besitzt der reine Halbleiterkristall eine sehr geringe Zahl freier Ladungsträger.

Beispiele: T = 300 K

Silizium: ni ≈ 1,5 ⋅ 1010 cm-3 ⇒ 1 Ladungsträgerpaar pro 2 ⋅ 1012 Atome

Germanium: ni ≈ 2,5 ⋅ 1013 cm-3 ⇒ 1 Ladungsträgerpaar pro 3 ⋅ 109 Atome

Störstellenleitung

Durch Zugeben von Fremdatomen (=Dotieren) zum Kristall steigt die Leitfähigkeit eines Halbleiters stark an. Besonders geeignet sind 3- bzw. 5-wertige Fremdatome:

3-wertig: B, Al, In
5-wertig: P, As, Sb

Dotierung mit 5-wertigen Fremdatomen

Ein 5-wertiges Fremdatom wird wie ein Halbleiteratom mittels 4 Elektronenpaarbindungen in den Kristall eingebaut. Das fünfte Valenzelektron des Fremdatoms wird nicht benötigt.
Dotierung_mit_fünfwertigem_Fremdatom
Dotierung mit fünfwertigem Fremdatom
Das fünfte Valenzelektron ist nicht in einer Elektronenpaarbindung gebunden, daher kann es leicht von seinem Rumpfatom abgetrennt werden, so dass ein freies Elektron entsteht. Die erforderliche Energie beträgt 10 meV bei Ge bzw. 50 meV bei Si.
Ionisierung_fünfwertiges_Fremdatom
Ionisierung des 5-wertigen Fremdatoms (n-Leitung)
Es bleibt eine ortsfeste, positive Überschussladung des Fremdatoms zurück (ortsfeste Raumladung), diese steht nicht zum Ladungstransport zur Verfügung.

Das 5-wertige Fremdatom wird Donator genannt (lat. donare = geben), weil es ein Elektron abgibt. Bereits weit unterhalb Zimmertemperatur sind alle Donatoratome ionisiert. Donatoratome tragen nur durch die abgegebenen Elektronen zur Leitfähigkeit bei. Es handelt sich um einen n-leitenden Kristall (n = negative Ladungsträger).

Dotierung mit 3-wertigen Fremdatomen

Ein 3-wertiges Fremdatom wird wie ein Halbleiteratom mittels Elektronenpaarbindungen in den Kristall eingebaut. Aufgrund der 3 Valenzelektronen des Fremdatoms können auch nur 3 Elektronenpaarbindungen gebildet werden. Die vierte Paarbindung kommt nicht zustande.
Dotierung_mit_3-wertigen_Fremdatomen
Dotierung mit 3-wertigen Fremdatomen
Die Elektronenpaarbindungen innerhalb eines Kristalls sind gleichwertig, ein Elektron kann aus einer Paarbindung eines Nachbaratoms zu dem Fremdatom wechseln und dort die fehlende vierte Elektronenpaarbindung herstellen. Die hierfür erforderliche Energie beträgt 10 meV bei Ge bzw. 50 meV bei Si.

Am Ursprungsort des Elektrons entsteht ein Loch, also eine bewegliche positive Ladung. Bei dem Fremdatom entsteht eine ortsfeste Raumladung, diese negative Überschussladung steht nicht zum Ladungstransport zur Verfügung.
Ionisierung_des_3-wertigen_Fremdatoms
Ionisierung des 3-wertigen Fremdatoms (p-Leitung)
Das 3-wertige Fremdatom wird Akzeptor genannt (lat. accipere = an sich nehmen), da es ein Elektron aufnimmt. Bereits weit unterhalb Zimmertemperatur sind alle Akzeptoratome ionisiert. Akzeptoratome tragen nur durch die entstehenden Löcher zur Leitfähigkeit bei. Es handelt sich um einen p-leitenden Kristall (p = negative Ladungsträger).

Ladungsträgerkonzentrationen im dotierten Halbleiter
Ladungsträger im thermodynamischen Gleichgewicht
Der homogen dotierte Halbleiter verhält sich im thermodynamischen Gleichgewicht immer elektrisch neutral, d.h. positive und negative Ladungen kompensieren sich. Die Gesamtkonzentration aller positiven Ladungen ist gleich der Gesamtkonzentration aller negativen Ladungen (Neutralitätsbedingung).

p0 + ND+ = n0 + NA–
(p0, n0 = Konzentration von Löchern und freien Elektronen;
ND+, NA– = Konzentration der ionisierten Donator- und Akzeptoratome)
Das Massenwirkungsgesetz gilt im dotierten wie im nicht dotierten Halbleiter im thermodynamischen Gleichgewicht:

n0 ⋅ p0 = ni2
Damit erhält man für die Konzentration freier Ladungsträger im thermodynamischen Gleichgewicht allgemein gültige Beziehungen:
FormerlLadungstraeger

Ausgegangen wird von einer Mehrfachdotierung, weil bei der Bauelemente-Herstellung Kristallbereiche häufig erst n- und anschließend p- (oder umgekehrt) dotiert werden. Eine Einfachdotierung führt zu einer Dotierungskonzentrationen ND bzw. NA gleich Null.

Anmerkung

Dotierungskonzentration = Netto-Dotierungskonzentration

Beispiel: ND bei einem mehrfach dotierten n-Halbleiter (ND > NA) steht für die Differenz ND – NA der tatsächlichen Dotierungskonzentrationen

Der Störstellenleitung ist immer die Eigenleitung überlagert. Die Störstellen werden bereits bei sehr niedrigen Temperaturen ionisiert. Davon ausgehend wählt man für Halbleiterbauelemente die Dotierungskonzentrationen wesentlich größer als die im vorgesehenen Temperaturbereich auftretende Intrinsicdichte ni. Die Konzentration freier Ladungsträger wird dann in dem interessierenden Temperaturintervall von der Dotierung und nicht durch Eigenleitung bestimmt.

Temperaturabhängigkeit der Ladungsträgerkonzentration im dotierten Halbleiter
Temperturabhängigkeit_der_Ladungsträgerkonzentration
Die Abbildung zeigt qualitativ den Konzentrationsverlauf freier Ladungsträger aus ionisierten Störstellen NA- bzw. ND+, die temperaturabhängige Intrinsicdichte ni, sowie die Gesamtkonzentration nges, die sich aus der Überlagerung der beiden ergibt.

Zu erkennen sind drei Temperaturbereiche:

1. Bereich der Störstellenreserve

Bereich sehr niedriger Temperaturen (z.B. T < 200 K), in dem noch nicht alle Störstellen ionisiert sind 2. Bereich der Störstellenerschöpfung mittlerer Temperaturbereich (z.B. 200 K < T < 500 K), in dem alle Störstellen ionisiert sind und in dem die Intrinsicdichte geringer ist als die Dotierungskonzentration 3. Bereich dominierender Eigenleitung; intrinsischer Bereich hoher Temperaturbereich (z.B. T > 500 K), in dem die Konzentration der freien Ladungsträger aus Eigenleitung die Dotierungskonzentration übersteigt

Im Regelfall werden Halbleiter im Bereich der Störstellenerschöpfung betrieben. Hier ist die Konzentration freier Ladungsträger aus den Störstellen konstant und deutlich größer als die Ladungsträgerkonzentration aus Eigenleitung.

Majoritätsträger und Minoritätsträger

Die Konzentrationen von freien Elektronen und von Löchern sind im dotierten Halbleiter nicht gleich.

Die Konzentration nn0 der Elektronen im n-leitenden Material bzw.

die Konzentration pp0 der Löcher im p-leitenden Material

Majorititätsträger (aus Dotierung)
ist größer als

Minoritätsträger (aus Eigenleitung)
die Konzentration pn0 der Löcher im n-leitenden Material bzw.

die Konzentration np0 der Elektronen im p-leitenden Material.

Ladungsträgerkonzentrationen im n-leitenden Halbleiter

Einfachdotierung

Ein n-leitender Halbleiter liegt vor bei ND >> ni.

Majoritätsträger-Konzentration

nn0 ≈ ND+ ≈ ND

Minoritätsträger-Konzentration

Bei reiner Eigenleitung steht im Kristall jedem freien Elektron durchschnittlich genau ein Loch zur Rekombination gegenüber. Ein Gleichgewicht zwischen Paarbildung und Rekombination stellt sich dabei ein bei

n0 = p0 = ni

Bei Störstellenleitung im n-leitenden Halbleiterkristall stehen den durch Paarbildung entstandenen Löchern

nn0 ≈ ND >> ni

Elektronen zur Rekombination gegenüber.

Für ein Loch ist daher die Wahrscheinlichkeit auf ein Elektron als Rekombinationspartner zu treffen um den Faktor

a = nn0/ni ≈ ND/ni

größer als bei Eigenleitung.

Die Häufigkeit von Rekombinationen steigt damit um den Faktor a. Die Konzentration der Löcher im n-leitenden Halbleiter ist daher um den Faktor a kleiner als bei reiner Eigenleitung.

Es gilt daher

nn0 = a ⋅ ni ≈ ND

pn0 = ni /a ⇔

nn0 ⋅ pn0 = ni2

Daraus ergibt sich

pn0 ≈ ni2/ ND

z.B. Silizium mit

ni ≈ 1010 cm-3

nn0 ≈ ND = 1014 cm-3

pn0 = ni2/ ND = 106 cm-3

⇒ a = nn0/ni ≈ 104 Elektronen / Loch (T ≈ 300 K)

Mehrfachdotierung

Ein n-leitender Halbleiter liegt vor bei

ND > NA und (ND – NA) >> ni.

Für die Ladungsträgerkonzentrationen gilt

nn0 ≈ ND+ – NA- ≈ ND – NA

und

pn0 ≈ ni2/(ND – NA).

Ladungsträgerkonzentrationen im p-leitenden Halbleiter

Durch ähnliche Überlegungen wie beim n-leitenden Halbleiter erhält man:

Majoritätsträger-Konzentration

pp0 ≈ NA- ≈ NA

(Einfachdotierung mit NA >> ni)

pp0 ≈ NA- – ND+ ≈ NA – ND

(Mehrfachdotierung mit (NA – ND) >> ni)

Minoritätsträger-Konzentration

np0 ≈ ni2/NA

(Einfachdotierung mit NA >> ni)

np0 ≈ ni2/(NA – ND)

(Mehrfachdotierung mit (NA – ND) >> ni)

Massenwirkungsgesetz bei Halbleitern

Das Massenwirkungsgesetz gilt für eigenleitende wie auch für dotierte Halbleiter.

n0 ⋅ p0 = ni2
Im thermodynamischen Gleichgewicht ist das Produkt der Konzentrationen von freien Elektronen und von Löchern gleich dem Quadrat der Gleichgewichtskonzentration bei Eigenleitung.

Leitfähigkeit des Halbleiters

Die Leitfähigkeit κ eines Halbleiterkristalls lässt sich mit Hilfe der Ladungsträgerkonzentrationen berechnen.
Mit Formel1,Formel2,Formel3 und Formel4 ergibt sich für Ladungsträger der Konzentration Formel5 und der Beweglichkeit Formel6 die Leitfähigkeit: Formel7
Die Leitfähigkeit κ eines Halbleiters mit Elektronen- und Löcherleitung ergibt sich damit zu:

κ = e ⋅ (n ⋅ μn + p ⋅ μp)
Wegen des komplizierten Bewegungsmechanismus ist die Beweglichkeit der Löcher geringer als die der freien Elektronen.

Ladungsträger-Beweglichkeit in wichtigen Halbleitern

bei T = 300 K für niedrige Dotierung (z.B. NA;D ≤ 1015 cm-3) in Ladungsträger_beweglichkeit

Ladungsträgerbeweglichkeit_tabelle
Bei höheren Dotierungen (insb. im Bereich 1016 bis 1018 cm-3) sinkt die Beweglichkeit deutlich ab (z.B. bei Si annähernd um den Faktor 10 bei ≥ 1019 cm-3). Für die Temperaturabhängigkeit gilt μ ~ T−3/ 2 .

Erklärung der Leitungsmechanismen im Halbleiter mit Energie-Modellen

Energie-Termschema – Energiebändermodell

Baender-Schema
Die Bahnradien der Elektronen sind ein Maß für die Energie der Elektronen. Aus dem Schalenmodell der Elektronenbahnen lässt sich damit eine grafische Darstellung der Elektronenenergie ableiten. Ersetzt man die Kreisbögen der Elektronenbahnen eines einzelnen Atoms durch gerade Linien, erhält man das sog. Energie-Term-Schema.

Bei Festkörpern bzw. Kristallen aus vielen Atomen verschmieren sich die vielen zu denselben Elektronenschalen gehörenden Einzellinien zu Bändern und man erhält das sog. Energie-Bänder-Schema.

Zwischen den einzelnen Energiebändern im Halbleiter treten verbotene Zonen auf. Die entsprechenden Energiebereiche können von Elektronen nicht eingenommen werden.

Am oberen Ende des Energie-Bänder-Schemas folgt auf das Energieband der äußersten Elektronenschale (Valenzband) ein Energiebereich, bei dem sich ein Elektron vollständig von seinem Atom löst und dann frei beweglich ist. Man nennt dieses Energieband das Leitungsband des Halbleiters.

Für Reaktionen mit anderen Atomen oder für elektrische Vorgänge sind nur die Valenzelektronen sowie freie Elektronen bzw. im Energiebändermodell nur das Valenzband und das Leitungsband von Bedeutung. Aus diesem Grunde werden üblicherweise nur diese beiden Bänder und das dazwischenliegende verbotene Band betrachtet und dargestellt.

Die obere Grenze des Leitungsbandes bildet die Vakuumenergie Wvac. Dies ist das Energieniveau, bei dessen Überschreiten Elektronen den Festkörper verlassen können. Für Vorgänge innerhalb eines homogenen Halbleiterkristalls ist die Vakuumenergie nicht relevant und wird deshalb üblicherweise nicht dargestellt.

Bändermodelle für verschiedene Stoffe

In den Bändermodellen bedeuten

WC = Energie-Niveau der Unterkante des Leitungsbandes

WV = Energie-Niveau der Oberkante des Valenzbandes

WG = WC – WV = Bandabstand

Halbleiter (nicht dotiert)

Bändermodell_eines_Halbleiters
Zwischen Valenz- und Leitungsband liegt ein verbotenes Band (Ausdehnung WG).

Verbotenes Band: WG = 0,1 bis < 2,5 eV (z.B. Ge: WG = 0,67 eV und Si: WG = 1,11 eV) T = 0 K: Das Valenzband voll besetzt, das Leitungsband ist unbesetzt. T > 0 K: Durch Energiezufuhr ≥ WG überwinden einzelne Elektronen das verbotene Band.

Gleichgewichtskonzentrationen z.B. bei T = 300 K:

Ge: ni ≈ 2,3 ⋅ 1013 cm-3

Si: ni ≈ 1,5 ⋅ 1010 cm-3

Die freien Elektronen besetzen Energieniveaus im Leitungsband. Im Valenzband treten unbesetzte Energieniveaus auf (Löcher).

Nichtleiter (Isolatoren)

Das Bändermodell sieht so aus wie das eines Halbleiters. Im Gegensatz zu Halbleitern besitzen Isolatoren jedoch einen größeren Bandabstand von WG > 3 eV (z.B. Diamant WG = 7 eV und SiO2 WG = 8,8 eV)

T = 0 K: keine Leitfähigkeit

T ≥ 300 K: keine Leitfähigkeit

Metalle

Baendermodell_von_metallen
Valenzband und Leitungsband überlappen sich und es gibt kein unbesetztes (verbotenes) Band zwischen Valenzband und Leitungsband. Der Übergang der Elektronen vom Valenzband ins Leitungsband ist ohne Energiezufuhr möglich.

Es ergibt sich eine sehr gute Leitfähigkeit bei 0 K (Supraleitung) und eine geringere Leitfähigkeit bei höheren Temperaturen wegen Zusammenstößen der Elektronen mit den thermisch schwingenden Atomen.

Energie-Verteilung der freien Elektronen und der Löcher

Zustandsdichte

Zustandsdichte_Grafik

Die Anzahl besetzbarer Energie-Terme im Valenzband und im Leitungsband ist begrenzt. Die Dichte der verfügbaren Energie-Terme pro Energieintervall dW wird Zustandsdichte D(W) genannt.

In der Nähe der Bandkanten WC und WV gilt näherungsweise
Zustandsdichte_Grafik

Fermi-Dirac-Verteilung

Fermi-Dirac-Verteilung
Für die Wahrscheinlichkeit P(W), dass ein verfügbarer Energieterm tatsächlich durch ein Elektron besetzt ist, gilt die Fermi-Dirac-Verteilung:
Fermi-Dirac-Verteilung-Formel
mit
k = 1,38⋅10-23 JK-1 (Boltzmann-Konstante)
T = absolute Temperatur, WF = Fermi-Niveau (Fermi-Kante)
T = 0 K: alle Energie-Niveaus unterhalb WF sind von Elektronen besetzt, alle Niveaus oberhalb WF sind unbesetzt (Sprungfunktion bei WF)

T > 0 K: Übergang nicht mehr sprunghaft, Besetzungswahrscheinlichkeit bei WF gerade 50% (P(WF) = 0,5)

Lage des Fermi-Niveaus

Fermi-Niveau
Beim reinen (nicht dotierten) Halbleiter liegt das Fermi-Niveau etwa in der Mitte des verbotenen Bandes.

Energie-Bändermodelle für Eigenleitung bei einem Halbleiter

T = 0 K: Nach der Fermi-Dirac-Verteilung sind nur Energiezustände unterhalb der Fermi-Kante möglich

⇒ Das Valenzband ist vollständig mit Elektronen besetzt.
⇒ Das Leitungsband ist leer.
⇒ Es ist keine Stromleitung möglich.
T > 0 K: Durch Energiezufuhr ≥ ΔW werden Elektronen vom Valenzband ins Leitungsband angehoben, es entstehen

⇒ freie Elektronen im Leitungsband und
⇒ (bewegliche) Löcher im Valenzband.
Paarbildung
Ein Elektron aus dem Leitungsband fällt in ein Loch im Valenzband.

⇒ Das Elektron gibt Energie ab (Strahlung, Gitterschwingungen).
⇒ Die beweglichen Ladungsträger löschen sich gegenseitig aus.
Rekombination
Zwischen Paarbildung und Rekombination stellt sich ein temperaturabhängiges Gleichgewicht ein.

Die Energieverteilung der Ladungsträgerkonzentrationen ergibt sich aus dem Produkt aus Besetzungswahrscheinlichkeit (Fermi-Dirac-Verteilung) und Zustandsdichte.

⇒ n(W) = P(W) ⋅ Dn(W) (Energieverteilung der Elektronen im Leitungsband)
⇒ p(W) = [1 – P(W)] ⋅ Dp(W) (Energieverteilung der Löcher im Valenzband)
(mit n(W), p(W) = Ladungsträgerdichte pro Intervall dW)
Energie-Verteilung_der_Ladungsträger_bei_Eigenleitung
Integration über das gesamte Leitungsband ergibt die Gesamtkonzentration freier Elektronen, Integration über das gesamte Valenzband die Gesamtkonzentration der Löcher, bspw.
Integration_über_Valenzband

Energie-Bändermodelle für Störstellenleitung

Die Dotierung des Halbleiters mit Fremdatomen führt zu sog. Störtermen, d.h. es treten Energie-Terme im verbotenen Band auf.

n-dotierter Halbleiter

Bändermodell_des_n-Halbleiters
Es treten Störterme der Donatoratome knapp unterhalb der Leitbandkante auf.

Energie-Term (= Energie-Niveau) des nicht zum Kristallaufbau benötigen 5. Elektrons

WD = Energie-Niveau der Störterme

Zur Abtrennung des fünften Elektrons vom Donatoratom reicht die geringe Energiedifferenz ΔWD zwischen Störterm und Leitungsband-Unterkante

Si: ΔWD = WC – WD = 50 meV
Ge: ΔWD = WC – WD = 10 meV
Das Elektron wird dabei vom Donatorniveau WD ins Leitungsband angehoben und besetzt ein dort vorhandenes Energieniveau.

Der Störterm ist dann nicht mehr von einem Elektron besetzt. Die Störstelle wird positiv geladen (ortsfeste positive Ladung; kein bewegliches Loch)

Das Fermi-Niveau verschiebt sich in Richtung auf das Leitungsband und zwar um so mehr, je höher die Konzentration ND+ ionisierter Donatoratome ist.

Der Abstand des Ferminiveaus von der Leitbandkante beträgt (in Ws):

WC – WF = k⋅T⋅ln(NC/ND+)
(Umrechnung in eV durch Division durch 1,6⋅10-19Ws/eV)
Dabei ist NC = 2,86⋅1019cm-3 die effektive Zustandsdichte des Leitungsbandes.
Energieverteilung_der_Ladungsträger_im_n-Halbleiter

p-dotierter Halbleiter

Bändermodell_des_p-Halbleiters
Es treten Störterme der Akzeptoratome knapp oberhalb der Valenzbandkante auf

Energie-Term des zum Kristallaufbau benötigten aber fehlenden vierten Valenz- Elektrons; zunächst unbesetzt

WA = Energie-Niveau der Störterme

Zur Herstellung der fehlenden vierten Elektronenpaarbindung des Akzeptoratoms durch ein Valenz-Elektron aus einer Paarbindung eines Nachbaratoms reicht die geringe Energiedifferenz ΔWA

Si: ΔWA = WA – WV = 50 meV
Ge: ΔWA = WA – WV = 10 meV
Das Elektron wird aus dem Valenzband auf das Akzeptorniveau WA angehoben. Der Störterm wird dabei von dem zugewanderten Elektron besetzt (ortsfeste negative Ladung). Im Valenzband bleibt das unbesetzte Energieniveau des entstandenen Loches zurück.

Das Fermi-Niveau verschiebt sich in Richtung auf das Valenzband und zwar um so mehr, je höher die Konzentration NA- ionisierter Akzeptoratome ist. Mit NV = 3,1⋅1019cm-3 (= effektive Zustandsdichte des Valenzbandes) beträgt der Abstand des Ferminiveaus von der Valenzbandkante (in Ws):

WF – WV = k⋅T⋅ln(NV/NA-)
Energie-Verteilung_der_Ladungsträger_im_p-Halbleiter

Vergleich der Energieverteilung der Ladungsträger

Vergleicht man die Energieverteilung der Ladungsträger bei Eigenleitung, im n-dotierten Halbleiter und im p-dotierten Halbleiter, so ist zu erkennen, dass die beweglichen Ladungsträger in allen Fällen vorzugsweise Energien in der Nähe der Bandkanten einnehmen. Im Inneren der Bänder finden sich kaum bewegliche Ladungsträger.

Die freien Elektronen halten sich vorzugsweise am unteren Ende des Leitungsbandes in der Nähe der Leitbandkante WC auf.

Die Löcher hingegen halten sich vorzugsweise am oberen Ende des Valenzbandes in der Nähe der Valenzbandkante WV auf.

Quelle: Grundlagen der Elektronik von Prof. Stefan Goßner, Shaker-Verlag, Aachen (ISBN 978-3-8265-8825-9)


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